分叉树递归列方程法解概率问题

2013年5月12日 由 Creater 留言 »

题目:一个骰子,6面,1个面是 1, 2个面是2, 3个面是3, 问平均掷多少次能使1,2,3都至少出现一次?
这个问题实际上就是求数学期望,至少出现1,2,3各一次的总掷期望数。如下采用分叉树递归列方程法来解决(有该算法资料的同学麻烦发送给我哦creater@vip.qq.com)
这样分叉树的每个节点表示期望的一个结果,每个分叉表示一次投掷结果。将期望出现1、2、3各至少一次的记作L123,将希望出现2,3各至少一次记作L23,其他一次类推。
QQ图片20130513212230
根据这个树状结构和其中的递归关系,这个方程组就是:
L123 = p1 (L23+ 1) + p2 (L13+1) + p3 (L12 + 1) = p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 + 1
(以这个L123为例,投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次,于是长度期望是L23+ 1,加1是因为投掷了一次,亦即即增进一级)
L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 + 1
L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 + 1
L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 + 1
L1 =p1 ·1 + p2 (L1+1) + p3 (L1 +1) = p2 L1+ p3 L1 + 1
L2 = p1 L2 + p3 L2 + 1
L3 = p1 L3 +p2 L3+ 1
带入p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2即可得到。

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