浮点数的存储

2013年8月28日 由 Creater 留言 »

■ 现实生活中的小数
数学中的小数,又称为实数。一般用十进制表示

例如: 3.14159265

■ 科学计算法
数学中的科学计算法许多种表示法

3.14159265 = 0.314159265 × 101

■ 计算机中浮点数的表示

在计算机中的使用科学计数法是一种“规格化计数法”。

● 规格化计数法
用科学计数法表示实数时,如果最左边的第一个数字不是0,则被称为“规格化计数法”
0.1 × 10-2 不是规格化计数法
1.0 × 10-3 则是规格化计数法

● IEEE 754 标准
IEEE 754 标准成立于1985年,80年代起所有的计算机系统均支持IEEE 754
IEEE 754 对浮点数在计算机表示方法有三个主要的规定:

对于单精度(single precision):单精度浮点数位长:32位

(1) IEEE 754 标准规定:第1位为符号位,1 代表负,0代表正
(2) 接下来用8位来表示指数部分。
(3) 接下来的23位用来表示有效数位

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
– ————— ———————————————
S 指数(8位) 有效数位 (23 位)

★ IEEE 754 考虑到利用现有的整数比较指充,对浮点数能进行快速的比较和排序,由于指数部分大小能快速反应出浮点数的大小,所以,在符号位接下来的8位用来表示指数,有效数位的大小反应出浮点数的精度。安排在最后的23位

★ 对于规格化二进制浮点示法而言,有效数位的第1位必定是1而不是0,因此,IEEE 754 规定:实际有效数位中的第1位被省去,因而,有效数位中默计含有1位。

★ 移码:除了将指数安排在有效数位前面,还不足以快速比较两个浮点数的大小,例如:

1.0 × 2 -1 在计算机中表示为:0 11111111 00000000000000000000000
这个数相当于整数的 0x7F800000

1.0 × 2 1 在计算机中表示为:0 00000001 00000000000000000000000
这个数相当于整数的 0x00800000

如果用整数比较指令,比较两个数,1.0 × 2 -1 竟然比 1.0 × 2 1 还大!

为了解决这个问题,IEEE 754 设计了一个方案:将指数加上一个常数 127
这个常数 127 被称为“移码”(biased notation)

我们再来看一看:
1.0 × 2 -1 将指数: -1 + 127 = 126 后,得出以下的二进制数:
0 01111110 00000000000000000000 也就是: 0x3F000000

1.0 × 2 1 将指数:1 + 127 = 128 后,得出以下的二进制数:
0 10000000 00000000000000000000 也就是:0x40000000

这样的话,就可以得出正确结果了。

对于双精度(double precision)浮点数来说:位长64 位
(1)IEEE 754 标准规定:第1位为符号位,1 代表负,0代表正。
(2)接下来用11位来表示指数部分。
(3)接下来的52位用来表示有效数位。

★ 双精度浮点数用52位来表示有效数位,11位表示指数位,这样提高浮点数的精度,也还提高了浮点数的取值范围。

★ 双精度的移码为 1023

例子:
1、将 -0.625 转化为计算机中的二进制数浮点数
解:
-0.625 = -5/8 = -5/23 = -101 × 2-3 = -1.01 × 2-1

符号位:1
指数位:-1 + 127 = 126
有效数位:1.01(在机器中要相应去掉默认位)

所以,在机器表示的二进制序列为:1 01111110 0100000000000000000000
相当于整数:0xBF200000

2、将如下二进制序列用十进制浮点数表示。
11000000101000000000000000000000

解:
符号位:1 是负数
指数位;10000001 = 129, 这个数要减去移码值,即:129 – 127 = 2
有效数位:01000000000000000000000 这个数要加上默认1,即得:1.01

整个序列结果为:- 1.01 × 22 = -101 = -5.0

下面的例子是按照二进制格式化输出整型、字符型以及单精度和双精度浮点型的例子:

#include<stdio.h>

/*
 *
 *fun1(char);
 fun2(int )
 fun3(float);
 fun4(double);
 *
 *
 *
 * */

void fun4(double n)
{

    int i;
    unsigned j = 0;
    char *p = (char*)&n;

    putchar(10);
    printf("double n:%lf\n",n);
    for(i = 7; i >= 0; i--)
    {
        for(j = 0x80; j != 0; j >>= 1)
        {
            if(*(p + i) & j)
            {
                putchar('1');

            }
            else{
                putchar('0'); 
            }
            if( i == 7 && j == 0x80 || i == 6 && j == 0x10)
            {
                putchar(' ');
            }
        }
    }

    putchar(10);
}



void fun3(float n)
{
    char * q = (char*)&n;
    int i;
    unsigned int j = 0;
    putchar(10);

    printf("float  n:%f\n",n);
    for(i = 3; i >= 0; i--)
    {
        for(j = 0x80; j != 0; j >>= 1)
        {
            if(*(q + i) & j)
            {
                putchar('1');
            }
            else
            {
                putchar('0');
            }
            if(i == 3 && j == 0x80 || i == 2 && j == 0x80)
            {
                putchar(' ');
            }
        }
    }



    putchar(10);
}
void fun2(int n)
{
    unsigned int j = 0x80000000;
    putchar(10);
    printf("int  n:%d\n",n);
    while(j != 0)
    {

        if(n & j)
        {
            putchar('1');
        }
        else
        {
            putchar('0');
        }

        if(j == 0x80000000 || j == 0x00800000)
        {
            putchar(' ');
        }
        j >>= 1;

    }
    putchar(10);
}
void fun1(char n)
{

    char  i = 0;
    unsigned  char  j = 0x80;

    putchar(10);
    printf("char n: %d\n",n);
    while(i < 8)
    {
        if(n & j)
        {
            putchar('1');
        }
        else
        {
            putchar('0');
        }
        j >>= 1;
        i++;
    }
    putchar(10);
}
int main(void)
{
    float x1 = 4.25;
    float x2 = -4.25; 
    double y1 = 4.25;
    double y2 = -4.25;
    int z1 = 5;
    int z2 =-5;
    char w1 = 13;
    char w2 = -13;

    fun2(z1);
    fun2(z2);

    fun1(w1);
    fun1(w2);

    fun3(x1);
    fun3(x2);

    fun4(y1);
    fun4(y2);

    putchar(10);    
    return 0;
}
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