补码认识

2013年8月28日 由 Creater 留言 »

关于补码,看过一些书籍和网文,基本都是在“求反加一”的方法、步骤上反复强调,而对于补码的本质和定义,讨论的不足。这就对初学者的造成了误导,使得很多人都纠结在-128的补码求取过程中。
关于反码和原码,大家都是在郑重其事的讲解,其实,学过的人都知道,它们的重要性是 0 !
做而论道把自己对于补码的认识写在下面,但愿对读者有些帮助。

加法器
计算机里面,只有加法器,没有减法器,所有的减法运算,都必须用加法进行。
即:减去某个数字(或者说加上某个负数)的运算,都应该研究如何用加法来完成。

模、补数
在日常生活当中,可以看到很多这样的事情:
把某物体左转 90 度,和右转 270 度,在不考虑圈数的条件下,最终的效果是相同的;
把分针倒拨 20 分钟,和正拨 40 分钟,在不考虑时针的条件下,效果也是相同的;
把数字 87,减去 25,和加上 75,在不考虑百位数的条件下,效果也是相同的;
……。
上述几组数字,有这样的关系:
  90 + 270 = 360
  20 + 40 = 60
  25 + 75 = 100
式中的 360、60 和 100,就是“模”。
式中的 90 和 270、20 和 40,以及 25 和 75,就是一对对“互补”的数字。

知道了“模”,求某个数字的“补数”,就是轻而易举的了:
如果模为 365,数字 120 的补数为:365 – 120 = 245。

用补数代替原数,可把减法转变为加法。出现的进位就是模,此时的进位,就应该忽略不计。

二进制数的模
前面说过的十进制数 25 和 75,它们是 2 位数的运算,模是 100,即 1 的后面加上 2 个 0。
如果有 3 位数参加运算,模就是 1000,即 1 的后面加上 3 个 0。
这里的 1000,是十进制数的一千,可以写成 10^3,即 10 的 3 次方。
推论:有多少位数参加运算,模就是在 1 的后面加上多少个 0。

对于二进制数字,模也是这样推算。
如果是 3 位二进制数参加运算,模就是 1000,即 1 的后面加上 3 个 0;
那么当 8 位二进制数参加运算,模就是 1 0000 0000,即 1 的后面加上 8 个 0。
16 位二进制数参加运算,模可就大了,是 1 的后面加上 16 个 0。
注意:这里提到的 1、0,都是二进制数。
8 位二进制数的模可以按照十进制写成 2^8,即 256。
16 位数二进制数的模,就是 2^16,按照十进制,它就是 65536。

二进制数的补码
求二进制数的补数,目的是往计算机里面存放。
在计算机里面,存放的数字什么的,都称为机器码;那么二进制形式的补数,也就改称为补码了。
一般情况下,都是以 8 位二进制数来讨论补码,少数也有用 16 位数的。

计算时加上正数,是不需要进行求取补数的;只有进行减法(或者加上负数),才需要对减数求补数。
补码就是按照这个要求来定义的:正数不变,负数即用模减去绝对值。

已知一个数 X,其 8 位字长的补码定义为:

      / X 0 <= X <= +127 ;正数和0的补码,就是该数字本身  [X]补 = |       \ 2^8 -|X| -128 <= X < 0 ;负数的补码,就是用 1 0000 0000,减去该数字的绝对值 例如 X = -126,其补码为 1000 0010,计算方法如下:     1 0000 0000    - 0111 1110  -----------      1000 0010 可以看出,按照补码的定义来求补码,概念十分清晰,方法、步骤也是十分简单的。 应用补码进行计算 用补码计算:83-25=58。     83  ---都变成补码,再用加法运算-->  0101 0011
  - 25  -> 1 0000 0000 – 0001 1001-> + 1110 0111
 -----          --------
    58  <--忽略进位1,结果就是正确的--[1] 0011 1010 计算结果如果超出了-128~+127的范围,结果将是错误的,这是没有办法纠正的。 应用补码进行计算,完全符合前面介绍的“用补数可把减法转换成加法”的做法,只要忽略进位(这个进位1,就是求补的时候,加进去的1 0000 0000中的1),结果就是正确的。 这些关于补数、补码的定义、方法、步骤,读者如果看懂了前面的文字,相信大家自己都可以总结出来。 那么为什么总有些网友要提出关于求取补码的问题呢? 在做而论道看来,就是因为很多教材和网文都在这个问题上“画蛇添足”。 关于补码的蛇足 补码出现后,后人又补充了不少“蛇足”:符号位、求反加一、原码、反码......。 --符号位 从这个表格中,可以看出特点:正数的最高位都是0,负数的最高位都是1。 这样一来,有人就把最高位理解成了符号位。说什么是规定的用0代表正号,......。并且郑重其事的补充说明:“符号位也参加运算”。真能忽悠!卖拐、卖车的都甘拜下风。 其实,前面说过的 补数 和 补码的定义式 里面,根本就没有什么符号位。这最高位的1、0是自然出现的,并不是由人来规定的。 --求反加一 负数补码的后面七位,也可以看出一个不完全的规律:它们和绝对值之间存在着“求反加一”的关系。 于是,又有人推出了这个不同于定义式的算法。 --原码和反码 由于使用“求反加一”来求取补码,顺便又引出了 原码 和 反码 两个垃圾概念。 其实,“求反加一”的计算方法只是适用于计算二进制形式的补数,它并不是通用的。 并且把“求反加一”用于求-128的补码,有个溢出的现象,很多人都在这里被弄瘸了很长时间。 原码和反码也只不过是“人工”进行“求反加一”时的中间过程,在计算机里面根本是不存在的,它们也就没有丝毫用处。 求取补码,就按照定义的规定,负数采用“模减去绝对值”的方法来求,这是求补数的通用方法,适合于各种进制、各种大小的数字。 不要用求反加一的方法,也就不用理会原码和反码了,也不牵涉符号位的问题。 以后的计算,也就没有必要特殊说明:“符号位一起参加运算...”,因为根本就没有什么符号位

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