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  •    1年前 (2017-09-24)  模式识别&机器学习 |   抢沙发  10 
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     相关Matlab知识

      设M为一个矩阵,那么:

         1、求和

         sum(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求和。

         sum(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求和。

         sum(M(:)):将矩阵中的所有元素相加求和。

         2、求期望

          matlab中矩阵元素求期望的函数mean与sum用法雷同。

          mean(M):以矩阵M的每一列为对象,对每一列的数据分别求期望。

          mean(M,2):以矩阵的每一行为对象,对每一行的数据分别求期望。

          mean(M(:)):以矩阵所有数据为对象求期望。

         3、求均方差

          若要求整个矩阵所有元素的均方差,则要使用std2函数:std2(M)

          注:Matlab中有求数组方差的 函数:var;要注意的是var函数所采用公式中,分母不是length(X) ,而是length(X)-1 。这是因为var函数实际上求的并不是方差,而是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。var没有求矩阵的方差功能,可使用std先求均方差,再平方得到方差。std,均方差,std(X,0,1)求列向量方差,std(X,0,2)求行向量方差。

    4、协方差

          cov(X)
          求矩阵X的协方差矩阵。diag(cov(X))得到每一个列向量的方差。sqrt(diag(cov(X)))得到每一个列的标准差。
    若X大小为M*N,则cov(X) 大小为N*N的矩阵。cov(X) 的第(i,j)个元素等于X的第i列向量与第j列向量的方差,即C(Xi,Xj)。
          cov(X,Y)
          求矩阵X与Y的协方差矩阵。若X大小为M*N,Y为K*P,则X,Y的大小必须满足M*N=K*P,即X,Y的元素个数相同。此时,cov(X,Y) 等于cov([X(:) Y(:)])和cov(X(:),Y(:)),即计算两个向量的协方差矩阵,得到的结果为2*2矩阵。
         5、特征值和特征向量

    (1) E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。
    (2) [V,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成V的列向量。
    (3) [V,D]=eig(A,'nobalance'):与第2种格式类似,但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量,而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。

    (4) E=eig(A,B):由eig(A,B)返回N×N阶方阵A和B的N个广义特征值,构成向量E。
    (5) [V,D]=eig(A,B):由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值,构成N×N阶对角阵D,其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值,同时将返回相应的特征向量构成N×N阶满秩矩阵,且满足AV=BVD。

    PCA分析

    降维的必要性

    1.多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定,从而可能导致结果的不连贯。

    2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间,而在十维空间上只有0.02%。

    3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。

    4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

    降维的目的:

    1.减少预测变量的个数

    2.确保这些变量是相互独立的

    3.提供一个框架来解释结果

    降维的方法有:主成分分析、因子分析、用户自定义复合等。

    PCA(Principal Component Analysis)不仅仅是对高维数据进行降维,更重要的是经过降维去除了噪声,发现了数据中的模式。

    PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代,新特征是旧特征的线性组合,这些线性组合最大化样本方差,尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。

    预备知识

    样本X和样本Y的协方差(Covariance):

    Cov(X,Y)=ni=1(XiX¯)(YiY¯)(n1)Cov(X,Y)=∑i=1n(Xi−X¯)(Yi−Y¯)(n−1)

    协方差为正时说明X和Y是正相关关系,协方差为负时X和Y是负相关关系,协方差为0时X和Y相互独立。

    Cov(X,X)就是X的方差(Variance).

    当样本是n维数据时,它们的协方差实际上是协方差矩阵(对称方阵),方阵的边长是C2nCn2。比如对于3维数据(x,y,z),计算它的协方差就是:

    C=

    cov(x,xcov(y,xcov(z,x)

    cov(x,ycov(y,ycov(z,y)

    cov(x,zcov(y,zcov(z,z)

    AX=λXAX=λX,则称λλ是A的特征值,X是对应的特征向量。实际上可以这样理解:矩阵A作用在它的特征向量X上,仅仅使得X的长度发生了变化,缩放比例就是相应的特征值λλ

    当A是n阶可逆矩阵时,A与P-1Ap相似,相似矩阵具有相同的特征值。

    特别地,当A是对称矩阵时,A的奇异值等于A的特征值,存在正交矩阵Q(Q-1=QT),使得:

    主成分分析PCA

    对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。

    AQ=QDA∗Q=Q∗D,D是由特征值组成的对角矩阵

    由特征值和特征向量的定义知,Q的列向量就是A的特征向量。

     

    1.特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值。这里的“维”指的就是一个特征(或属性),变换之后每一维的均值都变成了0。

    很多数据挖掘的教材上都会讲到鹫尾花的例子,本文就拿它来做计算,原始数据是150×4的矩阵A。
    2.计算B的协方差矩阵C。
    3.计算协方差矩阵C的特征值和特征向量。
    4.选取大的特征值对应的特征向量,得到新的数据集。
    特征值是由大到小排列的,前两个特征值的和已经超过了所有特征值之和的97%。我们取前两个特征值对应的特征向量,得到一个4×2的矩阵M。令A'150×2=A150×4M4×2,这样我们就把150×4的数据A集映射成了150×2的数据集A',特征由4个减到了2个。
    每个样本正好是二维的,画在平面坐标系中如图:
    主成分分析PCA

    A=[5.1     3.5     1.4     0.2
    4.9     3.0     1.4     0.2
    4.7     3.2     1.3     0.2
    4.6     3.1     1.5     0.2
    5.0     3.6     1.4     0.2
    5.4     3.9     1.7     0.4
    4.6     3.4     1.4     0.3
    5.0     3.4     1.5     0.2
    4.4     2.9     1.4     0.2
    4.9     3.1     1.5     0.1
    5.4     3.7     1.5     0.2
    4.8     3.4     1.6     0.2
    4.8     3.0     1.4     0.1
    4.3     3.0     1.1     0.1
    5.8     4.0     1.2     0.2
    5.7     4.4     1.5     0.4
    5.4     3.9     1.3     0.4
    5.1     3.5     1.4     0.3
    5.7     3.8     1.7     0.3
    5.1     3.8     1.5     0.3
    5.4     3.4     1.7     0.2
    5.1     3.7     1.5     0.4
    4.6     3.6     1.0     0.2
    5.1     3.3     1.7     0.5
    4.8     3.4     1.9     0.2
    5.0     3.0     1.6     0.2
    5.0     3.4     1.6     0.4
    5.2     3.5     1.5     0.2
    5.2     3.4     1.4     0.2
    4.7     3.2     1.6     0.2
    4.8     3.1     1.6     0.2
    5.4     3.4     1.5     0.4
    5.2     4.1     1.5     0.1
    5.5     4.2     1.4     0.2
    4.9     3.1     1.5     0.1
    5.0     3.2     1.2     0.2
    5.5     3.5     1.3     0.2
    4.9     3.1     1.5     0.1
    4.4     3.0     1.3     0.2
    5.1     3.4     1.5     0.2
    5.0     3.5     1.3     0.3
    4.5     2.3     1.3     0.3
    4.4     3.2     1.3     0.2
    5.0     3.5     1.6     0.6
    5.1     3.8     1.9     0.4
    4.8     3.0     1.4     0.3
    5.1     3.8     1.6     0.2
    4.6     3.2     1.4     0.2
    5.3     3.7     1.5     0.2
    5.0     3.3     1.4     0.2
    7.0     3.2     4.7     1.4
    6.4     3.2     4.5     1.5
    6.9     3.1     4.9     1.5
    5.5     2.3     4.0     1.3
    6.5     2.8     4.6     1.5
    5.7     2.8     4.5     1.3
    6.3     3.3     4.7     1.6
    4.9     2.4     3.3     1.0
    6.6     2.9     4.6     1.3
    5.2     2.7     3.9     1.4
    5.0     2.0     3.5     1.0
    5.9     3.0     4.2     1.5
    6.0     2.2     4.0     1.0
    6.1     2.9     4.7     1.4
    5.6     2.9     3.6     1.3
    6.7     3.1     4.4     1.4
    5.6     3.0     4.5     1.5
    5.8     2.7     4.1     1.0
    6.2     2.2     4.5     1.5
    5.6     2.5     3.9     1.1
    5.9     3.2     4.8     1.8
    6.1     2.8     4.0     1.3
    6.3     2.5     4.9     1.5
    6.1     2.8     4.7     1.2
    6.4     2.9     4.3     1.3
    6.6     3.0     4.4     1.4
    6.8     2.8     4.8     1.4
    6.7     3.0     5.0     1.7
    6.0     2.9     4.5     1.5
    5.7     2.6     3.5     1.0
    5.5     2.4     3.8     1.1
    5.5     2.4     3.7     1.0
    5.8     2.7     3.9     1.2
    6.0     2.7     5.1     1.6
    5.4     3.0     4.5     1.5
    6.0     3.4     4.5     1.6
    6.7     3.1     4.7     1.5
    6.3     2.3     4.4     1.3
    5.6     3.0     4.1     1.3
    5.5     2.5     4.0     1.3
    5.5     2.6     4.4     1.2
    6.1     3.0     4.6     1.4
    5.8     2.6     4.0     1.2
    5.0     2.3     3.3     1.0
    5.6     2.7     4.2     1.3
    5.7     3.0     4.2     1.2
    5.7     2.9     4.2     1.3
    6.2     2.9     4.3     1.3
    5.1     2.5     3.0     1.1
    5.7     2.8     4.1     1.3
    6.3     3.3     6.0     2.5
    5.8     2.7     5.1     1.9
    7.1     3.0     5.9     2.1
    6.3     2.9     5.6     1.8
    6.5     3.0     5.8     2.2
    7.6     3.0     6.6     2.1
    4.9     2.5     4.5     1.7
    7.3     2.9     6.3     1.8
    6.7     2.5     5.8     1.8
    7.2     3.6     6.1     2.5
    6.5     3.2     5.1     2.0
    6.4     2.7     5.3     1.9
    6.8     3.0     5.5     2.1
    5.7     2.5     5.0     2.0
    5.8     2.8     5.1     2.4
    6.4     3.2     5.3     2.3
    6.5     3.0     5.5     1.8
    7.7     3.8     6.7     2.2
    7.7     2.6     6.9     2.3
    6.0     2.2     5.0     1.5
    6.9     3.2     5.7     2.3
    5.6     2.8     4.9     2.0
    7.7     2.8     6.7     2.0
    6.3     2.7     4.9     1.8
    6.7     3.3     5.7     2.1
    7.2     3.2     6.0     1.8
    6.2     2.8     4.8     1.8
    6.1     3.0     4.9     1.8
    6.4     2.8     5.6     2.1
    7.2     3.0     5.8     1.6
    7.4     2.8     6.1     1.9
    7.9     3.8     6.4     2.0
    6.4     2.8     5.6     2.2
    6.3     2.8     5.1     1.5
    6.1     2.6     5.6     1.4
    7.7     3.0     6.1     2.3
    6.3     3.4     5.6     2.4
    6.4     3.1     5.5     1.8
    6.0     3.0     4.8     1.8
    6.9     3.1     5.4     2.1
    6.7     3.1     5.6     2.4
    6.9     3.1     5.1     2.3
    5.8     2.7     5.1     1.9
    6.8     3.2     5.9     2.3
    6.7     3.3     5.7     2.5
    6.7     3.0     5.2     2.3
    6.3     2.5     5.0     1.9
    6.5     3.0     5.2     2.0
    6.2     3.4     5.4     2.3
    5.9     3.0     5.1     1.8]
    
    
    >> M=mean(A)
    
    M =
    
        5.8433    3.0540    3.7587    1.1987
    
    >> B=A-M
    
    B =
    
       -0.7433    0.4460   -2.3587   -0.9987
       -0.9433   -0.0540   -2.3587   -0.9987
       -1.1433    0.1460   -2.4587   -0.9987
       -1.2433    0.0460   -2.2587   -0.9987
       -0.8433    0.5460   -2.3587   -0.9987
       -0.4433    0.8460   -2.0587   -0.7987
       -1.2433    0.3460   -2.3587   -0.8987
       -0.8433    0.3460   -2.2587   -0.9987
       -1.4433   -0.1540   -2.3587   -0.9987
       -0.9433    0.0460   -2.2587   -1.0987
       -0.4433    0.6460   -2.2587   -0.9987
       -1.0433    0.3460   -2.1587   -0.9987
       -1.0433   -0.0540   -2.3587   -1.0987
       -1.5433   -0.0540   -2.6587   -1.0987
       -0.0433    0.9460   -2.5587   -0.9987
       -0.1433    1.3460   -2.2587   -0.7987
       -0.4433    0.8460   -2.4587   -0.7987
       -0.7433    0.4460   -2.3587   -0.8987
       -0.1433    0.7460   -2.0587   -0.8987
       -0.7433    0.7460   -2.2587   -0.8987
       -0.4433    0.3460   -2.0587   -0.9987
       -0.7433    0.6460   -2.2587   -0.7987
       -1.2433    0.5460   -2.7587   -0.9987
       -0.7433    0.2460   -2.0587   -0.6987
       -1.0433    0.3460   -1.8587   -0.9987
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       -0.8433    0.3460   -2.1587   -0.7987
       -0.6433    0.4460   -2.2587   -0.9987
       -0.6433    0.3460   -2.3587   -0.9987
       -1.1433    0.1460   -2.1587   -0.9987
       -1.0433    0.0460   -2.1587   -0.9987
       -0.4433    0.3460   -2.2587   -0.7987
       -0.6433    1.0460   -2.2587   -1.0987
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       -0.7433    0.3460   -2.2587   -0.9987
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        0.5567    0.1460    0.7413    0.3013
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        0.9567   -0.2540    1.0413    0.2013
        0.8567   -0.0540    1.2413    0.5013
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       -0.3433   -0.6540    0.0413   -0.0987
       -0.3433   -0.6540   -0.0587   -0.1987
       -0.0433   -0.3540    0.1413    0.0013
        0.1567   -0.3540    1.3413    0.4013
       -0.4433   -0.0540    0.7413    0.3013
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        0.4567    0.2460    2.2413    1.3013
       -0.0433   -0.3540    1.3413    0.7013
        1.2567   -0.0540    2.1413    0.9013
        0.4567   -0.1540    1.8413    0.6013
        0.6567   -0.0540    2.0413    1.0013
        1.7567   -0.0540    2.8413    0.9013
       -0.9433   -0.5540    0.7413    0.5013
        1.4567   -0.1540    2.5413    0.6013
        0.8567   -0.5540    2.0413    0.6013
        1.3567    0.5460    2.3413    1.3013
        0.6567    0.1460    1.3413    0.8013
        0.5567   -0.3540    1.5413    0.7013
        0.9567   -0.0540    1.7413    0.9013
       -0.1433   -0.5540    1.2413    0.8013
       -0.0433   -0.2540    1.3413    1.2013
        0.5567    0.1460    1.5413    1.1013
        0.6567   -0.0540    1.7413    0.6013
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        1.8567   -0.4540    3.1413    1.1013
        0.1567   -0.8540    1.2413    0.3013
        1.0567    0.1460    1.9413    1.1013
       -0.2433   -0.2540    1.1413    0.8013
        1.8567   -0.2540    2.9413    0.8013
        0.4567   -0.3540    1.1413    0.6013
        0.8567    0.2460    1.9413    0.9013
        1.3567    0.1460    2.2413    0.6013
        0.3567   -0.2540    1.0413    0.6013
        0.2567   -0.0540    1.1413    0.6013
        0.5567   -0.2540    1.8413    0.9013
        1.3567   -0.0540    2.0413    0.4013
        1.5567   -0.2540    2.3413    0.7013
        2.0567    0.7460    2.6413    0.8013
        0.5567   -0.2540    1.8413    1.0013
        0.4567   -0.2540    1.3413    0.3013
        0.2567   -0.4540    1.8413    0.2013
        1.8567   -0.0540    2.3413    1.1013
        0.4567    0.3460    1.8413    1.2013
        0.5567    0.0460    1.7413    0.6013
        0.1567   -0.0540    1.0413    0.6013
        1.0567    0.0460    1.6413    0.9013
        0.8567    0.0460    1.8413    1.2013
        1.0567    0.0460    1.3413    1.1013
       -0.0433   -0.3540    1.3413    0.7013
        0.9567    0.1460    2.1413    1.1013
        0.8567    0.2460    1.9413    1.3013
        0.8567   -0.0540    1.4413    1.1013
        0.4567   -0.5540    1.2413    0.7013
        0.6567   -0.0540    1.4413    0.8013
        0.3567    0.3460    1.6413    1.1013
        0.0567   -0.0540    1.3413    0.6013
    >> X=cov(B)
    
    X =
    
        0.6857   -0.0393    1.2737    0.5169
       -0.0393    0.1880   -0.3217   -0.1180
        1.2737   -0.3217    3.1132    1.2964
        0.5169   -0.1180    1.2964    0.5824
    
    >> [V,S]=eig(X)
    
    V =
    
       -0.3173    0.5810    0.6565    0.3616
        0.3241   -0.5964    0.7297   -0.0823
        0.4797   -0.0725   -0.1758    0.8566
       -0.7511   -0.5491   -0.0747    0.3588
    
    
    S =
    
        0.0237         0         0         0
             0    0.0785         0         0
             0         0    0.2422         0
             0         0         0    4.2248
    
    >> R=A*V(:,[3,4])
    
    R =
    
        5.6413    2.8271
        5.1452    2.7960
        5.1774    2.6215
        5.0036    2.7649
        5.6486    2.7828
        6.0625    3.2314
        5.2326    2.6905
        5.4851    2.8849
        4.7439    2.6234
        5.2080    2.8375
        5.9667    3.0048
        5.3362    2.8982
        5.0870    2.7239
        4.8114    2.2861
        6.5009    2.8678
        6.6595    3.1275
        6.1328    2.8888
        5.6339    2.8630
        6.1940    3.3123
        5.8352    2.9240
        5.7126    3.2008
        5.7548    2.9681
        5.4563    2.2955
        5.4202    3.2082
        5.2835    3.1552
        5.1757    3.0034
        5.4526    3.0423
        5.6894    2.9490
        5.6340    2.8715
        5.1246    2.8785
        5.1173    2.9229
        5.7328    3.1013
        6.1347    2.8637
        6.4147    2.9142
        5.2080    2.8375
        5.3919    2.6443
        5.9215    2.8861
        5.2080    2.8375
        4.8345    2.5295
        5.5508    2.9210
        5.5858    2.7412
        4.3819    2.6591
        4.9804    2.5130
        5.5106    3.1058
        5.7574    3.3025
        5.0720    2.7957
        5.8251    2.9738
        5.0941    2.6710
        5.9010    2.9687
        5.4297    2.8074
        6.0002    6.7961
        5.6339    6.4438
        5.8189    6.9754
        4.4891    5.6923
        5.3901    6.5985
        4.8974    6.1518
        5.5986    6.6066
        4.3136    4.7599
        5.5437    6.5546
        4.5941    5.5012
        4.0522    5.0003
        5.2124    6.0224
        4.7668    5.7737
        5.1904    6.4954
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    >> 
    
    
     

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