矩阵的迹 特征值

2017年11月25日 由 Creater 留言 »

矩阵的迹(trace)

X∈P(n×n,X=(xii)的主对角线上的所有元素之和称之为X的迹,记为tr(X),即tr(X)=∑xii

性质:

(1)

设有N阶矩阵A,那么矩阵A的迹(用tr(A)表示)就等于A的特征值的总和,也即A矩阵的主对角线元素的总和。

1.迹是所有对角元的和

2.迹是所有特征值的和

3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹

(2)

奇异值分解(Singular value decomposition )

奇异值分解非常有用,对于矩阵A(p*q),存在U(p*p),V(q*q),B(p*q)(由对角阵与增广行或列组成),满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量,而B是A的奇异值。AA’的特征向量组成U,特征值组成B’B,A’A的特征向量组成V,特征值(与AA’相同)组成BB’。因此,奇异值分解和特征值问题紧密联系。

如果A是复矩阵,B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了一些关于A的信息,例如非零奇异值的数目(B的阶数)和A的阶数相同,一旦阶数确定,那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。

 

 

矩阵的特征值(eigenvalue)

设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。

求解矩阵特征值的方法:

Ax=mx,等价于求m,使得(mE-A)x=0,其中E是单位矩阵,0为零矩阵。

|mE-A|=0,求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式,它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值,这些根有可能相重复,也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 … mn,则|A|=m1*m2*…*mn

同时矩阵A的迹是特征值之和:tr(A)=m1+m2+m3+…+mn[1]

如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得

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