平衡二叉树

2013年4月15日 由 Creater 留言 »

平衡二叉树又称AVL树。它或者是颗空树,或者是具有下列性质的二叉树:它的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。若将二叉树节点的平衡因子BF定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度,则平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能为-1,0,1.只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1,那么这颗平衡二叉树就失去了平衡。

假设我们已经有棵平衡二叉树,现在让我们来看看插入节点后,原来节点失去平衡后,我们进行选择的处理方式。

avl

 

平衡二叉树多用于查找数据,所以平衡二叉树又是颗二叉排序树。

那么如何创建一颗平衡二叉树呢?

创建平衡二叉树,我们采用依次插入节点的方式进行。而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。递归算法如下:

(1)      若该树为一空树,那么插入一个数据元素为e的新节点作为平衡二叉树的根节点,树的高度增加1。

(2)      若待插入的数据元素e和平衡二叉树(BBST)的根节点的关键字相等,那么就不需要进行插入操作。

(3)      若待插入的元素e比平衡二叉树(BBST)的根节点的关键字小,而且在BBST的左子树中也不存在和e有相同关键字的节点,则将e插入在BBST的左子树上,并且当插入之后的左子树深度增加1时,分别就下列情况处理之。

(a)    BBST的根节点的平衡因子为-1(右子树的深度大于左子树的深度):则将根节点的平衡因子更改为0,BBST的深度不变;

(b)    BBST的根节点的平衡因子为0(左右子树的深度相等):则将根节点的平衡因子修改为1,BBST的深度增加1;

(c)    BBST的根节点的平衡因子为1(左子树的深度大于右子树的深度):若BBST的左子树根节点的平衡因子为1,则需要进行单向右旋转平衡处理,并且在右旋处理后,将根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0,树的深度不变;

若BBST的左子树根节点的平衡因子为-1,则需进行先向左,后向右的双向旋转平衡处理,并且在旋转处理之后,修改根节点和其左,右子树根节点的平衡因子,树的深度不变;

(4)      若e的关键字大于BBST的根节点的关键字,而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点,则将e插入到BBST的右子树上,并且当插入之后的右子树深度加1时,分别就不同的情况处理之。

(a)      BBST的根节点的平衡因子是1(左子树的深度大于右子树的深度):则将根节点的平衡因子修改为0,BBST的深度不变;

(b)      BBST的根节点的平衡因子是0(左右子树的深度相等):则将根节点的平衡因子修改为-1,树的深度加1;

(c)      BBST的根节点的平衡因子为-1(右子树的深度大于左子树的深度):若BBST的右子树根节点的平衡因子为1,则需要进行两次选择,第一次先向右旋转,再向左旋转处理,并且在旋转处理之后,修改根节点和其左,右子树根节点的平衡因子,树的深度不变;

若BBST的右子树根节点的平衡因子为1,则需要进行一次向左的旋转处理,并且在左旋之后,更新根节点和其左,右子树根节点的平衡因子,树的深度不变;

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/************************************************************************/
/*                    平衡二叉树---AVL                                  */
/************************************************************************/
#define LH +1
#define EH  0
#define RH -1
typedef int ElemType;
typedef struct BSTNode{
	ElemType data;
	int bf;//balance flag
	struct BSTNode *lchild,*rchild;
}*PBSTree;

void R_Rotate(PBSTree* p)
{
	PBSTree lc = (*p)->lchild;
	(*p)->lchild = lc->rchild;
	lc->rchild = *p;
	*p = lc;
}

void L_Rotate(PBSTree* p)
{
	PBSTree rc = (*p)->rchild;
	(*p)->rchild = rc->lchild;
	rc->lchild = *p;
	*p = rc;
}

void LeftBalance(PBSTree* T)
{
	PBSTree lc,rd;
	lc = (*T)->lchild;
	switch (lc->bf)
	{
	case LH:
		(*T)->bf = lc->bf = EH;
		R_Rotate(T);
		break;
	case RH:
		rd = lc->rchild;
		switch(rd->bf)
		{
		case LH:
			(*T)->bf = RH;
			lc->bf = EH;
			break;
		case EH:
			(*T)->bf = lc->bf = EH;
			break;
		case RH:
			(*T)->bf = EH;
			lc->bf = LH;
			break;
		}
		rd->bf = EH;
		L_Rotate(&(*T)->lchild);
		R_Rotate(T);
		break;
	}
}

void RightBalance(PBSTree* T)
{
	PBSTree lc,rd;
	lc= (*T)->rchild;
	switch (lc->bf)
	{
	case RH:
		(*T)->bf = lc->bf = EH;
		L_Rotate(T);
		break;
	case LH:
		rd = lc->lchild;
		switch(rd->bf)
		{
		case LH:
			(*T)->bf = EH;
			lc->bf = RH;
			break;
		case EH:
			(*T)->bf = lc->bf = EH;
			break;
		case RH:
			(*T)->bf = EH;
			lc->bf = LH;
			break;
		}
		rd->bf = EH;
		R_Rotate(&(*T)->rchild);
		L_Rotate(T);
		break;
	}
}

int InsertAVL(PBSTree* T,ElemType e,bool* taller)
{
	if ((*T)==NULL)
	{
		(*T)=(PBSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
		(*T)->bf = EH;
		(*T)->data = e;
		(*T)->lchild = NULL;
		(*T)->rchild = NULL;
	}
	else if (e == (*T)->data)
	{
		*taller = false;
		return 0;
	}
	else if (e < (*T)->data)
	{
		if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
			return 0;
		if(*taller)
		{
			switch ((*T)->bf)
			{
			case LH:
				LeftBalance(T);
				*taller = false;
				break;
			case  EH:
				(*T)->bf = LH;
				*taller = true;
				break;
			case RH:
				(*T)->bf = EH;
				*taller = false;
				break;
			}
		}
	}
	else
	{
		if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
			return 0;
		if (*taller)
		{
			switch ((*T)->bf)
			{
			case LH:
				(*T)->bf = EH;
				*taller = false;
				break;
			case EH:
				(*T)->bf = RH;
				*taller = true;
				break;
			case  RH:
				RightBalance(T);
				*taller = false;
				break;
			}
		}
	}
	return 1;
}

bool FindNode(PBSTree root,ElemType e,PBSTree* pos)
{
	PBSTree pt = root;
	(*pos) = NULL;
	while(pt)
	{
		if (pt->data == e)
		{
			//找到节点,pos指向该节点并返回true
			(*pos) = pt;
			return true;
		}
		else if (pt->data>e)
		{
			pt = pt->lchild;
		}
		else
			pt = pt->rchild;
	}
	return false;
}
void InorderTra(PBSTree root)
{
	if(root->lchild)
		InorderTra(root->lchild);
	printf("%d ",root->data);
	if(root->rchild)
		InorderTra(root->rchild);
}

int main()
{
	int i,nArr[] = {1,23,45,34,98,9,4,35,23};
	PBSTree root=NULL,pos;
	bool taller;
	for (i=0;i<9;i++)
	{
		InsertAVL(&root,nArr[i],&taller);
	}
	InorderTra(root);
	if(FindNode(root,103,&pos))
		printf("\n%d\n",pos->data);
	else
		printf("\nNot find this Node\n");
	return 0;
}
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